Новые результаты численного моделирования коллапса невязких жидкостей, проведенного группой П. Орланди из университета Рима I, находят свое объяснение в рамках теории, развиваемой Е.А.Кузнецовым – главным научным сотрудником Сектора математической физики ФИАН, чл. корр. РАН. Коллапс в этой теории представляет собой процесс опрокидывания вихревых линий, в результате которого такой параметр как «завихренность» и компонента скорости, параллельная завихренности, становятся сингулярными. Это и есть тот момент, когда в турбулентой среде возникают ударные волны.

    Явление коллапсов играет принципиально важную роль в формировании спектров развитой гидродинамической турбулентности. Коллапс, как процесс образования особенностей за конечное время, порождает в спектрах турбулентности асимптотики степенного типа. Именно поэтому изучение коллапсов играет столь важную роль в исследованиях проблемы колмогоровских спектров. Как известно, в газодинамике причина возникновения ударных волн связана с явлением опрокидывания. В самом простом варианте – одномерной газодинамики – опрокидывание может быть описано с помощью решения в виде простой волны Римана. Такое решение, записанное в неявном виде, показывает, что каждая «жидкая частица» двигается со своей скоростью, так что более быстрые частицы догоняют более медленные. В результате профиль скорости становится все более крутым, растут градиенты. Наконец, существует такой момент времени t*, когда градиенты становятся бесконечными – это и есть опрокидывание или, как говорят математики, градиентная катастрофа. Физическая первопричина опрокидывания связана со сжимаемостью газа. Математически оно может быть описано посредством перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым, т.е. на языке отображения. При этом опрокидыванию соответствует обращение якобиана отображения J в нуль.  

    Как следует из уравнения Гельмгольца для завихренности, всякое движение жидкости вдоль вихревой линии не изменяет завихренность. Только нормальная к завихренности компонента скорости, представляющая собой скорость вихревой линии, может изменить завихренность. Этот факт имеет простую геометрическую интерпретацию: для произвольной линии всякие деформации, параллельные ей, не изменяют саму линию; она может меняться только за счет поперечных деформаций, которые в ситуации общего положения являются сжимаемыми. Именно это наблюдение показывает, что линии завихренности можно сжимать. Наличие в несжимаемой жидкости сжимаемой субстанции – является главным для понимания, почему в несжимаемой гидродинамике возможно опрокидывание вихревых линий. При приближении к точке опрокидывания происходит формирование сжимающегося вихревого слоя, толщина которого уменьшается быстрее его ширины.  В результате в момент опрокидывания возникает особенность: в главном направлении – направлении опрокидывания, особенность завихренности имеет степенное колмогоровское поведение. Основные результаты численного моделирования коллапса невязких жидкостей, представленного в 2012 г. группой П. Орланди из университета Рима I, находят свое объяснение в рамках развиваемой теории. Это есть одно из свидетельств в пользу того, что коллапс в гидродинамике представляет собой опрокидывание вихревых линий.

 

    Для двумерной турбулентности, как показано в работе  Е.А. Кузнецова с соавторами А.Н. Кудрявцевым и Е.В. Серещенко (Письма ЖЭТФ 96, 783-789 (2012)), есть много общего с трехмерной турбулентностью. Здесь также существует опрокидывание – это опрокидывание ротора завихренности. Однако, в отличие от трехмерной турбулентности, такой процесс образования «особенности» за конечное время запрещен, а имеется только тенденция к образованию так называемых квази-сингулярностей в виде резких градиентов завихренности. Как показано в численных экспериментах, такого рода «особенности» вносят основной вклад в формирование спектров колмогоровского типа – спектров Крейчнана. Спектр турбулентности оказывается сильно анизотропным, представляет собой набор хорошо локализованных по углу джетов со слабыми и/или сильными перекрытиями.

    Таким образом, как для двумерных, так и трехмерных турбулентных течений опрокидывание (несмотря на то, что этот процесс еще не до конца изучен) играет ключевую роль в формировании колмогоровских спектров развитой гидродинамической турбулентности.

В. Жебит, АНИ «ФИАН-Информ»

27.03.2013