fian-inform

Switch to desktop Register Login

Опрокидывание вихревых линий влияет на формирование колмогоровских спектров

    Новые результаты численного моделирования коллапса невязких жидкостей, проведенного группой П. Орланди из университета Рима I, находят свое объяснение в рамках теории, развиваемой Е.А.Кузнецовым – главным научным сотрудником Сектора математической физики ФИАН, чл. корр. РАН. Коллапс в этой теории представляет собой процесс опрокидывания вихревых линий, в результате которого такой параметр как «завихренность» и компонента скорости, параллельная завихренности, становятся сингулярными. Это и есть тот момент, когда в турбулентой среде возникают ударные волны.

 

    Явление коллапсов играет принципиально важную роль в формировании спектров развитой гидродинамической турбулентности. Коллапс, как процесс образования особенностей за конечное время, порождает в спектрах турбулентности асимптотики степенного типа. Именно поэтому изучение коллапсов играет столь важную роль в исследованиях проблемы колмогоровских спектров. Как известно, в газодинамике причина возникновения ударных волн связана с явлением опрокидывания. В самом простом варианте – одномерной газодинамики – опрокидывание может быть описано с помощью решения в виде простой волны Римана. Такое решение, записанное в неявном виде, показывает, что каждая «жидкая частица» двигается со своей скоростью, так что более быстрые частицы догоняют более медленные. В результате профиль скорости становится все более крутым, растут градиенты. Наконец, существует такой момент времени t*, когда градиенты становятся бесконечными – это и есть опрокидывание или, как говорят математики, градиентная катастрофа. Физическая первопричина опрокидывания связана со сжимаемостью газа. Математически оно может быть описано посредством перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым, т.е. на языке отображения. При этом опрокидыванию соответствует обращение якобиана отображения J в нуль.  

    Как следует из уравнения Гельмгольца для завихренности, всякое движение жидкости вдоль вихревой линии не изменяет завихренность. Только нормальная к завихренности компонента скорости, представляющая собой скорость вихревой линии, может изменить завихренность. Этот факт имеет простую геометрическую интерпретацию: для произвольной линии всякие деформации, параллельные ей, не изменяют саму линию; она может меняться только за счет поперечных деформаций, которые в ситуации общего положения являются сжимаемыми. Именно это наблюдение показывает, что линии завихренности можно сжимать. Наличие в несжимаемой жидкости сжимаемой субстанции – является главным для понимания, почему в несжимаемой гидродинамике возможно опрокидывание вихревых линий. При приближении к точке опрокидывания происходит формирование сжимающегося вихревого слоя, толщина которого уменьшается быстрее его ширины.  В результате в момент опрокидывания возникает особенность: в главном направлении – направлении опрокидывания, особенность завихренности имеет степенное колмогоровское поведение. Основные результаты численного моделирования коллапса невязких жидкостей, представленного в 2012 г. группой П. Орланди из университета Рима I, находят свое объяснение в рамках развиваемой теории. Это есть одно из свидетельств в пользу того, что коллапс в гидродинамике представляет собой опрокидывание вихревых линий.

 

kuznetsov 
На рисунке: Характерные области поведения завихренности в момент опрокидывания

 

    Для двумерной турбулентности, как показано в работе  Е.А. Кузнецова с соавторами А.Н. Кудрявцевым и Е.В. Серещенко (Письма ЖЭТФ 96, 783-789 (2012)), есть много общего с трехмерной турбулентностью. Здесь также существует опрокидывание – это опрокидывание ротора завихренности. Однако, в отличие от трехмерной турбулентности, такой процесс образования «особенности» за конечное время запрещен, а имеется только тенденция к образованию так называемых квази-сингулярностей в виде резких градиентов завихренности. Как показано в численных экспериментах, такого рода «особенности» вносят основной вклад в формирование спектров колмогоровского типа – спектров Крейчнана. Спектр турбулентности оказывается сильно анизотропным, представляет собой набор хорошо локализованных по углу джетов со слабыми и/или сильными перекрытиями.

    Таким образом, как для двумерных, так и трехмерных турбулентных течений опрокидывание (несмотря на то, что этот процесс еще не до конца изучен) играет ключевую роль в формировании колмогоровских спектров развитой гидродинамической турбулентности.

 

В. Жебит, АНИ «ФИАН-Информ»

27.03.2013

ФИАН - Информ © 2012 | All rights reserved.

Top Desktop version