Сотрудники Физического института им. П.Н. Лебедева РАН в сотрудничестве с Институтом теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН получили новые результаты в области математической физики под названием "логарифмическая конформная теория поля". Эти результаты позволяют строить существенно более приближенные к реальности, чем ранее, модели таких явлений как сход лавины, лесные пожары или дорожные пробки.
Представим себе решетку из линий на плоскости – как на тетрадном листе в клеточку, только очень большом. И пусть эти линии – на самом деле трубки, по которым может течь вода. С одной стороны этой системы трубок стоит бак с водой, а на каждой такой линии (стороне квадратика) есть краники, и эти краники случайным образом с некоторой вероятностью открыты или закрыты. В этом случае возникают следующие вопросы. Как в зависимости от величины этой вероятности понять, будет ли вода вытекать с другой стороны? Через сколько в среднем потоков вода прольется? Сколько будет мест протекания? Если протекло здесь, то какова вероятность того, что протекло там? Похожие вопросы, кстати говоря, возникают и в случае дорожных пробок – сверхактуальной проблемы мегаполисов.
"Эта наука о двумерных задачах изучается с разных точек зрения, и нами в ФИАНе было выяснено, что целый класс систем такого рода имеет внутри себя скрытую симметрию, – говорит ведущий научный сотрудник ФИАН доктор физико-математических наук Алексей Семихатов. – Увидеть эту симметрию "невооруженным глазом" практически невозможно, но она просматривается математически и описывается в терминах объектов, называемых "квантовыми группами". Скрытая квантово-групповая симметрия, имеющаяся в целом классе двумерных задач, говорит нам о том, что "возбуждения" в этих системах, оказывается, можно представлять себе как некоторые "квазичастицы", не являющиеся ни бозонами, ни фермионами, а подчиняющиеся так называемой дробной статистике".
Наука об изучении классов критических явлений такими методами имеет довольно сложные приложения в разных областях, прежде всего в физике. Среди перспективных практических приложений – расчет, скажем, развития снежной лавины и определение условий ее возникновения.
"В нашей науке мы имеем дело с системами, пространственно разделенные части которых подозревают о существовании друг друга. Другое название этого явления – самоорганизующаяся критичность, то есть способность системы, развивающейся с какого-то конкретно взятого состояния, переводить себя в состояние с "дальним порядком", когда, например, мы бросили песчинку или снежинку в одном месте, а лавина пошла целиком", – рассказывает Алексей Семихатов.
Обычно, когда физики обнаруживают, что для описания тех или иных явлений природы необходимы новые разделы математики, такие разделы, как правило, уже существуют и готовы к применению. Здесь же физикам, которые исходили из чисто физических мотивировок и моделей, удалось внести заметный вклад и в чистую математику – теорию квантовых групп, которую математики с большим интересом развивали последние два десятилетия. Однако в довольно исхоженной части "математического леса" математики не заметили ценного камушка – структуры указанного вида, весьма просто связываемой с каждой квантовой группой. Так что сколь бы далекими от чистой алгебры ни казались системы с самоорганизующейся критичностью, именно связанные с ними соображения позволили положить кирпичик и в математическое здание. И именно квантовые группы могут помочь разобраться в том, как функционируют самоорганизующиеся системы.
"Квантовые группы – это набор таких "существ", которые живут своей жизнью и умеют разумно действовать на некоторых объектах, например, переставлять какие-то точки, заплетать косы или запутывать узлы. Представим себе, что мы берем очень длинную леску и сильно ее запутываем, а потом приглашаем кого-то, чтобы он сказал, что у нас получилось – узел или все-таки не узел. Понятно, что математически дать ответ на этот вопрос очень непросто. Но сама-то леска прекрасно знает, развяжется она или нет, если потянуть за концы. Человек же, пытающийся это выяснить, начнет что-то перетягивать, что-то втягивать, то есть одну часть подраспутает, другую подзапутает. Тот узел, который был дан, и тот, который прошел "обработку", будут запутаны совершенно по-разному. Поэтому с узлом должен быть связан какой-то математический объект, нечувствительный к "попыткам распутывания", и если для двух узлов два таких объекта не совпадают, то никакими перетягиваниями превратить один узел в другой нельзя", – объясняет Семихатов.
Как выяснили в Отделении теоретической физики ФИАН А.М. Семихатов, И.Ю. Типунин и А.М. Гайнутдинов в сотрудничестве с Б.Л. Фейгиным из ИТФ им. Ландау, одни только симметрийные соображения, четко закодированные в квантовых группах, позволяют воспроизвести целый ряд свойств логарифмических конформных теорий. А.М. Гайнутдинов, недавно защитивший в ФИАНе кандидатскую диссертацию по этой теме, сейчас продолжает развивать квантово-групповые методы в Институте теоретической физики в Сакле (Франция). А А.М. Семихатов надеется, что когда-нибудь с помощью квантовых групп можно будет классифицировать все мыслимые классы самоорганизующихся критичностей.
АНИ «ФИАН-информ»
